9. 2^x + 12 * (√2)^x - 64 = 0

Решение:

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

\( 2^x + 12 \cdot (2^{1/2})^x - 64 = 0 \)

\( 2^x + 12 \cdot 2^{x/2} - 64 = 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( y = 2^{x/2} \). Тогда \( y^2 = (2^{x/2})^2 = 2^x \).

Уравнение примет вид:

\( y^2 + 12y - 64 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{400} = 20 \)

Найдем корни для \( y \):

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + 20}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - 20}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \)

Теперь вернемся к замене \( y = 2^{x/2} \).

Случай 1: \( y_1 = 4 \)

\( 2^{x/2} = 4 \)

\( 2^{x/2} = 2^2 \)

\( \frac{x}{2} = 2 \)

\( x = 4 \)

Случай 2: \( y_2 = -16 \)

\( 2^{x/2} = -16 \)

Поскольку степень числа с положительным основанием всегда положительна, это уравнение не имеет решений.

Ответ: x = 4.