11.29. В урне 8 белых и 6 черных шаров. Из урны наугад вынимаются два шара. Найти вероятность того, что они разного цвета.

Решение:

Всего шаров в урне: \( 8 \text{ (белых)} + 6 \text{ (черных)} = 14 \) шаров.

Событие 'шары разного цвета' означает, что либо первый шар белый, а второй черный, либо первый шар черный, а второй белый.

Случай 1: Первый шар белый, второй черный.

Вероятность вынуть белый шар первой: \( P(\text{1-й белый}) = \frac{8}{14} \).

После этого в урне остается 13 шаров (7 белых и 6 черных). Вероятность вынуть черный шар второй: \( P(\text{2-й черный} | \text{1-й белый}) = \frac{6}{13} \).

Вероятность этого случая: \( P(\text{1-й белый и 2-й черный}) = \frac{8}{14} \times \frac{6}{13} = \frac{4}{7} \times \frac{6}{13} = \frac{24}{91} \).

Случай 2: Первый шар черный, второй белый.

Вероятность вынуть черный шар первой: \( P(\text{1-й черный}) = \frac{6}{14} \).

После этого в урне остается 13 шаров (8 белых и 5 черных). Вероятность вынуть белый шар второй: \( P(\text{2-й белый} | \text{1-й черный}) = \frac{8}{13} \).

Вероятность этого случая: \( P(\text{1-й черный и 2-й белый}) = \frac{6}{14} \times \frac{8}{13} = \frac{3}{7} \times \frac{8}{13} = \frac{24}{91} \).

Общая вероятность того, что шары разного цвета, равна сумме вероятностей этих двух несовместных случаев:

\[ P(\text{разного цвета}) = P(\text{1-й белый и 2-й черный}) + P(\text{1-й черный и 2-й белый}) = \frac{24}{91} + \frac{24}{91} = \frac{48}{91} \]

Ответ: \( \frac{48}{91} \).