11) (3 балла) Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 10см, высота пирамиды равна 8см. Найти объём и площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

Дано:

• Правильная четырехугольная пирамида.
• Апофема (l) = 10 см.
• Высота (h) = 8 см.

Найти:

• Объем (V)
• Площадь полной поверхности (S_полн)

1. Найдём сторону основания (a).

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания, катетами являются высота (h) и половина стороны основания (a/2), а гипотенузой — апофема (l).

По теореме Пифагора:

\[ l^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 \]
\[ 10^2 = 8^2 + (\frac{a}{2})^2 \]
\[ 100 = 64 + \frac{a^2}{4} \]
\[ \frac{a^2}{4} = 100 - 64 \]
\[ \frac{a^2}{4} = 36 \]
\[ a^2 = 36 \cdot 4 \]
\[ a^2 = 144 \]
\[ a = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]

2. Найдём площадь основания (S_осн).

Так как пирамида четырехугольная, основание — квадрат.

\[ S_{\text{осн}} = a^2 = 12^2 = 144 \text{ см}^2 \]

3. Найдём объём пирамиды (V).

Формула объёма пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h \]
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 8 \]
\[ V = 48 \cdot 8 \]
\[ V = 384 \text{ см}^3 \]

4. Найдём площадь боковой поверхности (S_бок).

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l \]

Где \( P_{\text{осн}} \) — периметр основания.

\( P_{\text{осн}} = 4a = 4 \cdot 12 = 48 \text{ см} \)

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 10 \]
\[ S_{\text{бок}} = 24 \cdot 10 \]
\[ S_{\text{бок}} = 240 \text{ см}^2 \]

5. Найдём площадь полной поверхности (S_полн).

Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} \]
\[ S_{\text{полн}} = 144 + 240 \]
\[ S_{\text{полн}} = 384 \text{ см}^2 \]

Ответ: Объём пирамиды равен 384 см³, площадь полной поверхности равна 384 см².