12) (3 балла) Найдите экстремумы функции y(x) = 2x³ - 3x² - 12x + 5

Решение:

Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти её производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.

1. Найдем производную функции \( y(x) \):

\[ y'(x) = (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5)' \]
\[ y'(x) = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x - 12 \]
\[ y'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \]

2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

\[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \]

Разделим обе части уравнения на 6:

\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

\( \sqrt{D} = 3 \)

Корни:

\( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

3. Определим, какие из критических точек являются точками максимума или минимума. Для этого проанализируем знак производной на интервалах, образованных критическими точками.

• Интервал \( (-\infty, -1) \): Возьмем \( x = -2 \). \( y'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 6(4) + 12 - 12 = 24 > 0 \). Функция возрастает.
• Интервал \( (-1, 2) \): Возьмем \( x = 0 \). \( y'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 12 = -12 < 0 \). Функция убывает.
• Интервал \( (2, \infty) \): Возьмем \( x = 3 \). \( y'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 6(9) - 18 - 12 = 54 - 30 = 24 > 0 \). Функция возрастает.

Таким образом:

• В точке \( x = -1 \) функция имеет локальный максимум (производная меняет знак с '+' на '-').
• В точке \( x = 2 \) функция имеет локальный минимум (производная меняет знак с '-' на '+').

4. Найдем значения функции в точках экстремума:

Максимум:

\[ y(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 \]
\[ y(-1) = 2(-1) - 3(1) + 12 + 5 \]
\[ y(-1) = -2 - 3 + 12 + 5 = 12 \]

Минимум:

\[ y(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 5 \]
\[ y(2) = 2(8) - 3(4) - 24 + 5 \]
\[ y(2) = 16 - 12 - 24 + 5 = -15 \]

Ответ: Локальный максимум функции равен 12 (при \( x = -1 \)), локальный минимум функции равен -15 (при \( x = 2 \)).