11. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 2.

1. Так как AM и BM - биссектрисы углов A и B, то ∠AMB = 90°.
2. В параллелограмме ABCD, AD || BC. Значит ∠DAM = ∠AMB (накрест лежащие). Так как AM - биссектриса, ∠DAM = ∠MAB. Следовательно, ∠AMB = ∠MAB, и треугольник ABM равнобедренный с AB = BM.
3. Аналогично, в параллелограмме ABCD, AB || DC. Значит ∠ABM = ∠BMC. Так как BM - биссектриса, ∠ABM = ∠MBC. Следовательно, ∠BMC = ∠MBC, и треугольник BCM равнобедренный с BC = MC.
4. Так как M лежит на BC, то BC = BM + MC. Из пунктов 2 и 3, BM = AB и MC = BC. Значит BC = AB + BC. Это возможно только если AB = 0, что противоречит условию.
Пересмотрим условие: "Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС".
В параллелограмме ABCD, AB || DC и AD || BC. AM - биссектриса ∠A, BM - биссектриса ∠B.
Так как AD || BC, то ∠DAM = ∠AMB (накрест лежащие). Так как AM - биссектриса ∠A, то ∠DAM = ∠MAB. Следовательно, ∠AMB = ∠MAB. Треугольник ABM равнобедренный, AB = BM.
Так как AB || DC, то AB = DC. Так как M лежит на BC, то BC = BM + MC. Периметр P = 2(AB + BC).
Так как AB = BM, и M лежит на BC, то BM ≤ BC. Значит AB ≤ BC.
В параллелограмме ABCD, AB || DC. AM биссектриса ∠A, BM биссектриса ∠B. M лежит на BC. ∠AMB = 90°. AB = BM. Значит M совпадает с C. Тогда BC = BM = AB. Периметр P = 2(AB + BC) = 2(AB + AB) = 4AB. При AB = 2, P = 4 * 2 = 8.