11. Даны два набора чисел. Отметьте числа на числовой прямой. Не проводя вычислений, определите у какого из набора рассеивание больше. Проверьте ваш глазомер, вычислив и сравнив стандартное отклонение наборов. а) 0; 2; 1 и 3; 2; 1; б) 3; 4; 1; 0 и 11; 13; 12; 16.

Решение:

Набор 11.а):

Набор 1: 0, 2, 1 (Среднее = (0+2+1)/3 = 1)

• Разница с средним: (0-1)=-1, (2-1)=1, (1-1)=0
• Квадраты разницы: (-1)^2=1, 1^2=1, 0^2=0
• Сумма квадратов: 1+1+0=2
• Дисперсия: 2 / 3 = 0,66...
• Стандартное отклонение: \[ \sigma = \sqrt{2/3} \approx 0.816 \]

Набор 2: 3, 2, 1 (Среднее = (3+2+1)/3 = 2)

• Разница с средним: (3-2)=1, (2-2)=0, (1-2)=-1
• Квадраты разницы: 1^2=1, 0^2=0, (-1)^2=1
• Сумма квадратов: 1+0+1=2
• Дисперсия: 2 / 3 = 0,66...
• Стандартное отклонение: \[ \sigma = \sqrt{2/3} \approx 0.816 \]

Вывод по 11.а): Оба набора имеют одинаковое стандартное отклонение. На глаз сложно определить, так как числа близки к среднему.

Набор 11.б):

Набор 1: 3, 4, 1, 0 (Среднее = (3+4+1+0)/4 = 8/4 = 2)

• Разница с средним: (3-2)=1, (4-2)=2, (1-2)=-1, (0-2)=-2
• Квадраты разницы: 1^2=1, 2^2=4, (-1)^2=1, (-2)^2=4
• Сумма квадратов: 1+4+1+4=10
• Дисперсия: 10 / 4 = 2.5
• Стандартное отклонение: \[ \sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.581 \]

Набор 2: 11, 13, 12, 16 (Среднее = (11+13+12+16)/4 = 52/4 = 13)

• Разница с средним: (11-13)=-2, (13-13)=0, (12-13)=-1, (16-13)=3
• Квадраты разницы: (-2)^2=4, 0^2=0, (-1)^2=1, 3^2=9
• Сумма квадратов: 4+0+1+9=14
• Дисперсия: 14 / 4 = 3.5
• Стандартное отклонение: \[ \sigma = \sqrt{3.5} \approx 1.871 \]

Вывод по 11.б): Стандартное отклонение второго набора (1.871) больше, чем первого (1.581). Рассеивание больше у набора 11, 13, 12, 16. На глаз это видно, так как числа во втором наборе расположены дальше от среднего значения, чем в первом.

Итог по заданию 11:

• 11.а): Стандартное отклонение одинаковое.
• 11.б): Стандартное отклонение больше у набора 11, 13, 12, 16.