11. Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если её основания равны 2 и 5.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB || CD. Основания равны \( b = AB = 2 \) и \( a = CD = 5 \). Диагональ AC образует с основанием CD угол \( \beta = 45^\circ \).

Опустим высоту BH из вершины B на основание CD. В прямоугольном треугольнике BHC, угол BCH равен \( \beta = 45^\circ \). Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол HBC равен \( 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \). Следовательно, треугольник BHC является равнобедренным, и \( BH = HC \).

Отрезок HC является частью большего основания CD. В равнобедренной трапеции, если опустить высоту из верхнего основания, то большее основание делится на три отрезка: \( \frac{a-b}{2} \), \( b \), \( \frac{a-b}{2} \). В нашем случае, \( b = 2 \) и \( a = 5 \).

Длина отрезка HC равна \( \frac{a-b}{2} \) или \( b + \frac{a-b}{2} \) в зависимости от того, с какой стороны треугольник.

Рассмотрим треугольник, образованный диагональю, высотой и отрезком большего основания. Пусть высота равна h. Если диагональ образует с большим основанием угол 45°, то в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, высотой и отрезком большего основания, один из острых углов равен 45°. Следовательно, другой острый угол равен 45°, и этот треугольник является равнобедренным.

Пусть высота трапеции равна h. Опустим высоту из вершины верхнего основания на нижнее. В равнобедренной трапеции, если опустить высоту из вершины верхнего основания, то большее основание делится на три отрезка: \( \frac{a-b}{2} \), \( b \), \( \frac{a-b}{2} \).

В нашем случае, \( b=2 \), \( a=5 \). Тогда \( \frac{a-b}{2} = \frac{5-2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \). Отрезки, на которые делится большее основание, равны 1.5, 2, 1.5.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю, высотой трапеции и частью большего основания. Пусть h — высота, x — отрезок большего основания, на который опирается диагональ (от вершины до проекции верхнего конца диагонали). Тогда \( \tan(45^\circ) = \frac{h}{x} \). Так как \( \tan(45^\circ) = 1 \), то \( h = x \).

Отрезок x является частью большего основания. Если диагональ проведена из вершины верхнего основания, то отрезок x равен \( b + \frac{a-b}{2} \) или \( \frac{a-b}{2} \) или \( b \) в зависимости от того, как она проведена.

Пусть диагональ проведена из вершины A к основанию CD. Угол CAD = 45°. Опустим высоту AH из A на CD. Треугольник AHD — прямоугольный. \( \tan(45^\circ) = \frac{AH}{HD} \). Так как \( \tan(45^\circ) = 1 \), то \( AH = HD \). AH — это высота трапеции, h. HD — это отрезок большего основания. HD = \( \frac{a-b}{2} \) или \( a - (b + \frac{a-b}{2}) \) или \( a - b \).

В равнобедренной трапеции, отрезок большего основания от вершины до проекции конца меньшего основания равен \( \frac{a-b}{2} \).

В нашем случае, \( a = 5 \) и \( b = 2 \). Значит, \( \frac{a-b}{2} = \frac{5-2}{2} = 1.5 \).

Если диагональ образует с основанием угол 45°, то в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, высотой и частью большего основания, высота равна этому отрезку большего основания.

Таким образом, \( h = \frac{a-b}{2} \).

\( h = \frac{5-2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \).

Ответ: 1.5.