12. Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если её основания равны 4 и 10.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB || CD. Основания равны \( b = AB = 4 \) и \( a = CD = 10 \). Диагональ AC образует с основанием CD угол \( \beta = 45^\circ \).

Опустим высоту BH из вершины B на основание CD. В прямоугольном треугольнике BHC, угол BCH равен \( \beta = 45^\circ \). Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол HBC равен \( 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \). Следовательно, треугольник BHC является равнобедренным, и \( BH = HC \).

Отрезок HC является частью большего основания CD. В равнобедренной трапеции, если опустить высоту из вершины верхнего основания, то большее основание делится на три отрезка: \( \frac{a-b}{2} \), \( b \), \( \frac{a-b}{2} \).

В нашем случае, \( b = 4 \) и \( a = 10 \). Тогда \( \frac{a-b}{2} = \frac{10-4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \). Отрезки, на которые делится большее основание, равны 3, 4, 3.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю, высотой и частью большего основания. Пусть h — высота трапеции. Если диагональ образует с основанием угол 45°, то в прямоугольном треугольнике, образованном этой диагональю, высотой трапеции и частью большего основания, катеты равны. Высота трапеции равна отрезку большего основания, который прилегает к вершине, из которой проведена диагональ, и где опущен перпендикуляр (высота).

Таким образом, высота h равна отрезку большего основания, который равен \( \frac{a-b}{2} \).

\( h = \frac{a-b}{2} \)

\( h = \frac{10-4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).

Ответ: 3.