11. Докажите, что четырёхугольник ABCD является ромбом, если: 1) A(6; 7; 8), B(8; 2; 6), C(4; 3; 2), D(2; 8; 4); 2) A(0; 2; 0), B(1; 0; 2), C(0; 0; 2), D([координаты обрезаны]).

1) Проверим, что диагонали имеют общую середину и перпендикулярны.

M_AC = ((6 + 4)/2; (7 + 3)/2; (8 + 2)/2) = (5; 5; 5).

M_BD = ((8 + 2)/2; (2 + 8)/2; (6 + 4)/2) = (5; 5; 5).

Векторы диагоналей: AC = (−2; −4; −6), BD = (−6; 6; −2). Их скалярное произведение равно 12 − 24 + 12 = 0, значит, диагонали перпендикулярны. Поскольку диагонали параллелограмма перпендикулярны, ABCD — ромб.

2) Координаты точки D обрезаны, поэтому доказать, что четырёхугольник является ромбом, по этому подпункту нельзя. Пришлите координаты D целиком.