11. Исследуйте функцию и постройте её график: у=— x³ + 6x2 – 5

Исследование функции \( y = -x^3 + 6x^2 - 5 \)

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).
2. Чётность/нечётность:

\( y(-x) = -(-x)^3 + 6(-x)^2 - 5 = -(-x^3) + 6x^2 - 5 = x^3 + 6x^2 - 5 \).

\( y(-x) \neq y(x) \) и \( y(-x) \neq -y(x) \). Функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. Пересечение с осями координат:

С осью Oy: При \( x = 0 \), \( y = -0^3 + 6(0)^2 - 5 = -5 \). Точка пересечения: \( (0; -5) \).

С осью Ox: При \( y = 0 \), \( -x^3 + 6x^2 - 5 = 0 \). Это кубическое уравнение, корни которого сложно найти аналитически без дополнительных методов или числовых приближений. Попробуем угадать целые корни, являющиеся делителями свободного члена (-5): \( \pm 1, \pm 5 \).

При \( x = 1 \): \( -1^3 + 6(1)^2 - 5 = -1 + 6 - 5 = 0 \). Значит, \( x = 1 \) — один из корней.

Разделим многочлен \( -x^3 + 6x^2 - 5 \) на \( (x - 1) \) (или \( -(x-1) \) для удобства):

\( (-x^3 + 6x^2 - 5) : (x - 1) = -x^2 + 5x + 5 \)

Теперь решим квадратное уравнение \( -x^2 + 5x + 5 = 0 \) или \( x^2 - 5x - 5 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4(1)(-5) = 25 + 20 = 45 \).

Корни: \( x = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{5 \pm 3\sqrt{5}}{2} \).

Примерно: \( \sqrt{5} \approx 2.236 \).

\( x_1 = \frac{5 + 3 \times 2.236}{2} = \frac{5 + 6.708}{2} = \frac{11.708}{2} \approx 5.85 \)

\( x_2 = \frac{5 - 3 \times 2.236}{2} = \frac{5 - 6.708}{2} = \frac{-1.708}{2} \approx -0.85 \)

Точки пересечения с осью Ox: \( (1; 0) \), \( (\frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}; 0) \), \( (\frac{5 - 3\sqrt{5}}{2}; 0) \).

4. Монотонность и экстремумы:

Найдем первую производную:

\[ y' = (-x^3 + 6x^2 - 5)' = -3x^2 + 12x \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ -3x^2 + 12x = 0 \]

\[ -3x(x - 4) = 0 \]

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 4 \).

Определим знаки производной на интервалах:

• На \( (-\infty; 0) \): \( y'(-1) = -3(-1)^2 + 12(-1) = -3 - 12 = -15 < 0 \). Функция убывает.
• На \( (0; 4) \): \( y'(1) = -3(1)^2 + 12(1) = -3 + 12 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
• На \( (4; +\infty) \): \( y'(5) = -3(5)^2 + 12(5) = -3(25) + 60 = -75 + 60 = -15 < 0 \). Функция убывает.

Выводы:

• В точке \( x = 0 \) — локальный минимум.
• В точке \( x = 4 \) — локальный максимум.

Найдем значения функции в этих точках:

Минимум: \( y(0) = -0^3 + 6(0)^2 - 5 = -5 \). Точка минимума: \( (0; -5) \).

Максимум: \( y(4) = -(4)^3 + 6(4)^2 - 5 = -64 + 6(16) - 5 = -64 + 96 - 5 = 27 \). Точка максимума: \( (4; 27) \).

5. Выпуклость и точки перегиба:

Найдем вторую производную:

\[ y'' = (-3x^2 + 12x)' = -6x + 12 \]

Приравняем вторую производную к нулю:

\[ -6x + 12 = 0 \]

\[ -6x = -12 \]

\[ x = 2 \]

Определим знаки второй производной:

• На \( (-\infty; 2) \): \( y''(0) = -6(0) + 12 = 12 > 0 \). Функция выпукла вверх (вогнута).
• На \( (2; +\infty) \): \( y''(3) = -6(3) + 12 = -18 + 12 = -6 < 0 \). Функция выпукла вниз (выпукла).

В точке \( x = 2 \) — точка перегиба.

Найдем значение функции в точке перегиба:

\[ y(2) = -(2)^3 + 6(2)^2 - 5 = -8 + 6(4) - 5 = -8 + 24 - 5 = 11 \]

Точка перегиба: \( (2; 11) \).

6. Асимптоты:

Вертикальных асимптот нет, так как область определения — \( \mathbb{R} \).

Наклонных асимптот тоже нет, так как функция является кубическим многочленом.

График функции:

Итого: Функция определена на всей числовой оси, имеет локальный минимум в точке \( (0; -5) \) и локальный максимум в точке \( (4; 27) \). Точка перегиба находится в \( (2; 11) \). Функция пересекает ось Oy в точке \( (0; -5) \) и ось Ox в точках \( (1; 0) \), \( (\frac{5 \pm 3\sqrt{5}}{2}; 0) \). Функция убывает на \( (-\infty; 0) \) и \( (4; +\infty) \), возрастает на \( (0; 4) \).