9. Осевое сечение цилиндра квадрат, диагональ которого равна 8 см. Найдите объём этого цилиндра.

Решение:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, который получается при сечении цилиндра плоскостью, проходящей через его оси.

По условию, осевое сечение — квадрат. Это значит, что высота цилиндра \( h \) равна диаметру его основания \( d \).

Диагональ квадрата \( D = 8 \) см.

Сторона квадрата (которая является и диаметром основания, и высотой цилиндра) равна:

\[ a = \frac{D}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ см} \]

Таким образом, высота цилиндра \( h = 4\sqrt{2} \) см, а диаметр основания \( d = 4\sqrt{2} \) см.

Радиус основания цилиндра \( r = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \) см.

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

\[ V = \pi r^2 h \]

Подставляем значения:

\[ V = \pi (2\sqrt{2})^2 (4\sqrt{2}) = \pi (4 \cdot 2) (4\sqrt{2}) = \pi \cdot 8 \cdot 4\sqrt{2} = 32\sqrt{2}\pi \text{ см}^3 \]

Ответ: 32√2π см³.