11. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 60 и ВС = 15. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Решение:

Дано:

• Отрезок \( AB \)
• Точка \( C \) на \( AB \)
• \( AC = 60 \)
• \( BC = 15 \)
• Окружность с центром \( A \), проходящая через \( C \). Радиус окружности \( R = AC = 60 \).
• Касательная \( BT \) проведена из точки \( B \) к окружности в точке \( T \).

Найти:

• Длину касательной \( BT \).

Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle ATB = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ATB \).

Гипотенуза \( AB \) = \( AC + CB = 60 + 15 = 75 \).

Один из катетов — радиус окружности \( AT = R = 60 \).

Другой катет — искомая касательная \( BT \).

По теореме Пифагора:

\( AT^2 + BT^2 = AB^2 \)

\( 60^2 + BT^2 = 75^2 \)

\( 3600 + BT^2 = 5625 \)

\( BT^2 = 5625 - 3600 \)

\( BT^2 = 2025 \)

\( BT = \sqrt{2025} \)

\( BT = 45 \)

Ответ: 45