12. Площадь параллелограмма ABCD равна 66. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции EBCD.

Решение:

Дано:

• Параллелограмм \( ABCD \)
• Площадь \( S_{ABCD} = 66 \)
• \( E \) — середина \( AB \)

Найти:

• Площадь трапеции \( EBCD \)

Площадь параллелограмма вычисляется как произведение основания на высоту: \( S_{ABCD} = AB × h \), где \( h \) — высота, опущенная на сторону \( AB \).

Площадь треугольника \( \triangle ADE \) (или \( \triangle BCE \) если основание \( BC \)) можно найти, зная, что \( E \) — середина \( AB \), то есть \( AE = EB = \frac{1}{2} AB \).

Площадь треугольника \( \triangle ADE \) равна половине произведения основания \( AE \) на высоту \( h \) (ту же высоту, что и у параллелограмма, если считать \( AB \) основанием):

\( S_{\triangle ADE} = \frac{1}{2} × AE × h = \frac{1}{2} × (\frac{1}{2} AB) × h = \frac{1}{4} × (AB × h) = \frac{1}{4} S_{ABCD} \).

Однако, трапеция \( EBCD \) состоит из треугольника \( \triangle BCE \) и параллелограмма \( CDE'B \) (где \( E' \) - проекция \( D \) на \( AB \)). Это не самый простой путь.

Рассмотрим, что площадь треугольника \( \triangle ABE \) не существует, так как \( E \) лежит на стороне \( AB \).

Правильнее будет рассмотреть площадь треугольника \( \triangle ADE \) как часть параллелограмма. Площадь треугольника \( \triangle ABC \) равна половине площади параллелограмма: \( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} × 66 = 33 \).

Точка \( E \) — середина \( AB \). Треугольник \( \triangle AEC \) и \( \triangle BEC \) имеют одинаковую высоту, проведенную из \( C \) к \( AB \), и равные основания \( AE = EB \).

Значит, \( S_{\triangle AEC} = S_{\triangle BEC} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × 33 = 16.5 \).

Площадь трапеции \( EBCD \) состоит из площади треугольника \( \triangle BCE \) и площади треугольника \( \triangle BCD \).

Площадь треугольника \( \triangle BCD \) равна половине площади параллелограмма: \( S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} × 66 = 33 \).

Площадь трапеции \( EBCD \) = \( S_{\triangle BCE} + S_{\triangle BCD} = 16.5 + 33 = 49.5 \).

Другой подход:

Площадь \( \triangle BCE \) = \( S_{\triangle BCE} \). Основание \( EB = \frac{1}{2} AB \).

Пусть высота параллелограмма равна \( h \). Тогда \( S_{ABCD} = AB × h = 66 \).

Площадь \( \triangle BCE = \frac{1}{2} × EB × h = \frac{1}{2} × (\frac{1}{2} AB) × h = \frac{1}{4} (AB × h) = \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} × 66 = 16.5 \).

Площадь трапеции \( EBCD \) = Площадь параллелограмма \( ABCD \) - Площадь \( \triangle ADE \).

Площадь \( \triangle ADE \) = \( \frac{1}{2} × AE × h = \frac{1}{2} × (\frac{1}{2} AB) × h = \frac{1}{4} S_{ABCD} = 16.5 \).

\( S_{EBCD} = S_{ABCD} - S_{\triangle ADE} = 66 - 16.5 = 49.5 \).

Ответ: 49.5