№ 11. На рисунке ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC. AD = 10, CD = 5, AB = CD; ∠ABD = 90°. Найти углы, отмеченные вопросительными знаками: ∠BAD, ∠CBD, ∠BCD и ∠BDC.

Считаем, что изображённая фигура — равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC.

1. В прямоугольном треугольнике ABD гипотенуза AD = 10, а катет AB = CD = 5. Катет AB равен половине гипотенузы, поэтому ∠ADB = 30° и ∠BAD = 60°.
2. Так как AD ∥ BC, накрест лежащие углы равны: ∠CBD = ∠ADB = 30°.
3. В равнобедренной трапеции углы при основании AD равны, значит ∠CDA = ∠BAD = 60°. Тогда ∠BDC = ∠CDA − ∠BDA = 60° − 30° = 30°.
4. Соседние углы при боковой стороне CD дополняют друг друга до 180°: ∠BCD = 180° − ∠CDA = 120°.

Ответ: ∠BAD = 60°, ∠CBD = 30°, ∠BCD = 120°, ∠BDC = 30°.