11. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение:

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Угловой коэффициент прямой \( k \) можно найти по формуле \( k = \frac{\Delta y}{\Delta x} \) или по тангенсу угла наклона касательной к оси Ox: \( k = \operatorname{tg} \alpha \).

Рассмотрим касательную. Она проходит через точки, которые можно определить по сетке графика.

Обозначим две точки на прямой:

1. Точка \( (-1, 2) \) (при \( x = -1 \), \( y = 2 \)).
2. Точка \( (1, -2) \) (при \( x = 1 \), \( y = -2 \)).

Найдем угловой коэффициент \( k \):

\( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 2}{1 - (-1)} = \frac{-4}{2} = -2 \).

Следовательно, значение производной функции \( f'(x_0) \) в точке \( x_0 \) равно угловому коэффициенту касательной.

\( f'(x_0) = k = -2 \).

Ответ: -2.