11. Один из катетов прямоугольного треугольника на 17 см больше другого, а гипотенуза равна 53 см. Найдите катеты этого треугольника.

Краткое пояснение:

Для решения этой задачи используем теорему Пифагора \( a^2 + b^2 = c^2 \), где \( a \) и \( b \) — катеты, а \( c \) — гипотенуза. Пусть один катет будет \( x \), а другой \( x + 17 \).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Составляем уравнение по теореме Пифагора: \( x^2 + (x+17)^2 = 53^2 \).
2. Шаг 2: Раскрываем скобки и упрощаем: \( x^2 + (x^2 + 34x + 289) = 2809 \).
   \( 2x^2 + 34x + 289 - 2809 = 0 \).
   \( 2x^2 + 34x - 2520 = 0 \).
3. Шаг 3: Делим всё уравнение на 2: \( x^2 + 17x - 1260 = 0 \).
4. Шаг 4: Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \). Здесь \( a=1, b=17, c=-1260 \).
   \( D = 17^2 - 4(1)(-1260) = 289 + 5040 = 5329 \).
   \( \sqrt{D} = \sqrt{5329} = 73 \).
5. Шаг 5: Находим корни уравнения:
   \( x_1 = \frac{-17 + 73}{2} = \frac{56}{2} = 28 \).
   \( x_2 = \frac{-17 - 73}{2} = \frac{-90}{2} = -45 \).
6. Шаг 6: Поскольку длина катета не может быть отрицательной, выбираем положительный корень \( x = 28 \).
   Находим второй катет: \( x + 17 = 28 + 17 = 45 \).
7. Шаг 7: Проверяем: \( 28^2 + 45^2 = 784 + 2025 = 2809 \). \( 53^2 = 2809 \). Теорема Пифагора выполняется.

Ответ: Катеты треугольника равны 28 см и 45 см.