11. Постройте и исследуйте графики функций: а) y = (1/2)ˣ + 2; б) y = −2ˣ; в) y = 3^(x−1). Для каждой функции укажите: 1) постройте график с помощью таблицы; 2) область определения D(y) и область значений E(y); 3) чётность/нечётность; 4) промежутки возрастания и убывания; 5) асимптоты (если есть) и ограниченность функции; 6) наименьшее и наибольшее значения функции (если существуют).

Для построения выбраны значения \(x\), позволяющие увидеть поведение каждой функции и её горизонтальную асимптоту.

а) \(y=\left(\frac12\right)^x+2\)

Таблица значений:

Так как основание \(\frac12\) находится между 0 и 1, функция убывает. Сдвиг графика вверх на 2 даёт горизонтальную асимптоту \(y=2\).

• \(D(y)=\mathbb{R}\), \(E(y)=(2;+\infty)\).
• Ни чётная, ни нечётная.
• Убывает на \((−\infty;+\infty)\); промежутков возрастания нет.
• Асимптота: \(y=2\). Функция ограничена снизу числом 2, но значения 2 не принимает; сверху не ограничена.
• Наименьшего и наибольшего значений нет (точная нижняя грань равна 2).

б) \(y=-2^x=-(2^x)\)

Таблица значений:

Функция получается отражением графика \(y=2^x\) относительно оси \(Ox\), поэтому она убывает и принимает только отрицательные значения.

• \(D(y)=\mathbb{R}\), \(E(y)=(-\infty;0)\).
• Ни чётная, ни нечётная.
• Убывает на \((−\infty;+\infty)\); промежутков возрастания нет.
• Горизонтальная асимптота: \(y=0\). Функция ограничена сверху числом 0, но значения 0 не принимает; снизу не ограничена.
• Наименьшего и наибольшего значений нет (точная верхняя грань равна 0).

в) \(y=3^{x-1}\)

Таблица значений:

Поскольку основание 3 больше 1, показательная функция строго возрастает. Замена показателя \(x\) на \(x-1\) сдвигает график вправо на 1 и не меняет асимптоту.

• \(D(y)=\mathbb{R}\), \(E(y)=(0;+\infty)\).
• Ни чётная, ни нечётная.
• Возрастает на \((−\infty;+\infty)\); промежутков убывания нет.
• Горизонтальная асимптота: \(y=0\). Функция ограничена снизу числом 0, но значения 0 не принимает; сверху не ограничена.
• Наименьшего и наибольшего значений нет (точная нижняя грань равна 0).