11. Решите неравенство: log₂.₇(x-7)<1

Решение:

Для решения логарифмического неравенства учтем область допустимых значений и свойства логарифмической функции.

1. Область допустимых значений: \( x - 7 > 0 \Rightarrow x > 7 \).
2. Так как основание логарифма \( 2.7 > 1 \), логарифмическая функция возрастает. Поэтому, сравнивая логарифм с числом, представим 1 как \( \log_{2.7} 2.7 \): \( \log_{2.7}(x-7) < \log_{2.7} 2.7 \).
3. Приравняем аргументы логарифмов, сохраняя знак неравенства: \( x - 7 < 2.7 \).
4. Решим полученное линейное неравенство: \( x < 2.7 + 7 \Rightarrow x < 9.7 \).
5. Объединим условие области допустимых значений и полученное решение: \( 7 < x < 9.7 \).

Ответ: \( (7; 9.7) \)