12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: y = 1/4 x⁴ + 1/3 x³ - x² + 18

Решение:

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума найдем первую производную функции и приравняем её к нулю.

1. Найдем первую производную функции \( y \): \( y' = \left(\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 18\right)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 + \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x = x^3 + x^2 - 2x \).
2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: \( x^3 + x^2 - 2x = 0 \).
3. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x^2 + x - 2) = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение \( x^2 + x - 2 = 0 \). Дискриминант \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \). Корни: \( x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \). \( x_1 = \frac{-1+3}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{-1-3}{2} = -2 \).
5. Таким образом, критические точки: \( x = -2, x = 0, x = 1 \).
6. Определим знаки производной на интервалах:
   • При \( x < -2 \), например \( x=-3 \): \( y' = (-3)((-3)^2 + (-3) - 2) = -3(9 - 3 - 2) = -3(4) = -12 < 0 \) (функция убывает).
   • При \( -2 < x < 0 \), например \( x=-1 \): \( y' = (-1)((-1)^2 + (-1) - 2) = -1(1 - 1 - 2) = -1(-2) = 2 > 0 \) (функция возрастает).
   • При \( 0 < x < 1 \), например \( x=0.5 \): \( y' = 0.5((0.5)^2 + 0.5 - 2) = 0.5(0.25 + 0.5 - 2) = 0.5(-1.25) = -0.625 < 0 \) (функция убывает).
   • При \( x > 1 \), например \( x=2 \): \( y' = 2(2^2 + 2 - 2) = 2(4) = 8 > 0 \) (функция возрастает).
7. Определим точки экстремума:
   • В точке \( x = -2 \) производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.
   • В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.
   • В точке \( x = 1 \) производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.
8. Промежутки монотонности:
   • Функция убывает на \( (-\infty; -2] \) и \( [0; 1] \).
   • Функция возрастает на \( [-2; 0] \) и \( [1; +\infty) \).
9. Найдем значения функции в точках экстремума:
   • \( y(-2) = \frac{1}{4}(-2)^4 + \frac{1}{3}(-2)^3 - (-2)^2 + 18 = \frac{1}{4}(16) + \frac{1}{3}(-8) - 4 + 18 = 4 - \frac{8}{3} + 14 = 18 - \frac{8}{3} = \frac{54-8}{3} = \frac{46}{3} \).
   • \( y(0) = \frac{1}{4}(0)^4 + \frac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 + 18 = 18 \).
   • \( y(1) = \frac{1}{4}(1)^4 + \frac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 + 18 = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 + 18 = \frac{3+4}{12} + 17 = \frac{7}{12} + 17 = 17\frac{7}{12} = \frac{204+7}{12} = \frac{211}{12} \).

Ответ: Промежутки убывания: \( (-\infty; -2] \) и \( [0; 1] \). Промежутки возрастания: \( [-2; 0] \) и \( [1; +\infty) \). Точки минимума: \( x = -2 \) (значение \( \frac{46}{3} \)), \( x = 1 \) (значение \( \frac{211}{12} \)). Точка максимума: \( x = 0 \) (значение \( 18 \)).