11. Тип 10 № 2054. В ящике стола лежат 3 синие ручки, 2 чёрные и 2 красные. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях, и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов.

Анализ утверждений:

Всего в ящике 3 синие + 2 чёрные + 2 красные = 7 ручек.

• 1) Если достать 3 ручки, то среди них обязательно будут хотя бы две ручки разных цветов.
  Это утверждение верно. В худшем случае мы сначала вытащим все ручки одного цвета (например, 3 синие). Следующая ручка (четвертая) обязательно будет другого цвета. Если мы достаем 3 ручки, то максимальное количество ручек одного цвета, которое мы можем вытащить, равно 3 (если они все синие). Но мы можем вытащить 2 синие и 1 черную, или 2 синие и 1 красную, или 1 синюю, 1 черную, 1 красную. В любом случае, если мы достанем 3 ручки, они не могут быть все одного цвета (так как синих всего 3, черных 2, красных 2). Если вытащить 3 синие, то они одного цвета. Если вытащить 2 синие и 1 черную - есть два разных цвета. Если 1 синяя, 1 черная, 1 красная - три разных цвета. Таким образом, это утверждение верно, так как нельзя достать 3 ручки так, чтобы они все были одного цвета, если есть только 2 черные и 2 красные. Максимум одного цвета - 3 синие. Если вытащить 3 ручки, они могут быть все синие. Значит, утверждение НЕ верно.
• 2) Если достать 4 ручки, то среди них обязательно будут две ручки синего цвета.
  Это утверждение верно. В худшем случае мы сначала вытащим все не-синие ручки (2 черные + 2 красные = 4 ручки). Пятая ручка обязательно будет синей. Если мы достаем 4 ручки, то они могут быть 2 синие, 1 черная, 1 красная. Или 1 синяя, 2 черные, 1 красная. Или 3 синие, 1 черная. Или 4 синие. Максимум не-синих ручек - 4 (2 черные + 2 красные). Если мы достанем 5 ручек, то обязательно будет хотя бы одна синяя. Если достать 4 ручки, то они могут быть 2 черные и 2 красные. В этом случае синих ручек не будет. Значит, утверждение НЕ верно.
• 3) Если достать 6 ручек, то среди них обязательно будут две ручки красного цвета.
  Это утверждение верно. В худшем случае мы вытащим все синие (3) и все черные (2) ручки, что в сумме составляет 5 ручек. Шестая ручка, которую мы достанем, обязательно будет красной. Но нам нужно две красные. Если мы вытащим 3 синие и 2 черные, то 5 ручек. Шестая может быть красной. Седьмая тоже будет красной. Если мы достанем 6 ручек, то они могут быть 3 синие, 2 черные, 1 красная. В этом случае есть только одна красная. Значит, утверждение НЕ верно.
• 4) Если достать 4 ручки, то среди них обязательно будут две ручки двух разных цветов.
  Это утверждение верно. В худшем случае мы вытащим все ручки одного цвета. Это возможно, если мы вытащим 3 синие ручки. Четвертая ручка обязательно будет другого цвета (черная или красная). Значит, среди 4 ручек будут две разных цветов. Также, если мы достанем 2 черные и 2 красные, то у нас будет 2 цвета. Если 3 синие и 1 черная - 2 цвета. Если 3 синие и 1 красная - 2 цвета. Если 2 синие, 1 черная, 1 красная - 3 цвета. В любом случае, доставая 4 ручки, мы получим ручки как минимум двух разных цветов.

Уточнение:

• 1) Если достать 3 ручки, то среди них обязательно будут хотя бы две ручки разных цветов.
  Это неверно. Мы можем вытащить 3 синие ручки.
• 2) Если достать 4 ручки, то среди них обязательно будут две ручки синего цвета.
  Это неверно. Мы можем вытащить 2 черные и 2 красные ручки (всего 4).
• 3) Если достать 6 ручек, то среди них обязательно будут две ручки красного цвета.
  Это неверно. Мы можем вытащить 3 синие и 2 черные ручки, тогда останется 1 красная. Шестая ручка будет красной, но нам нужно две.
• 4) Если достать 4 ручки, то среди них обязательно будут две ручки двух разных цветов.
  Это верно. Максимум ручек одного цвета - 3 (синие). Если мы достаем 4 ручки, то они не могут быть все одного цвета. Следовательно, будут как минимум два разных цвета.

Повторный анализ с принципом Дирихле:

• Всего ручек: 3 синие, 2 черные, 2 красные.
• 1) Достать 3 ручки. Обязательно две разных цветов?
  Нет. Можем достать 3 синие.
• 2) Достать 4 ручки. Обязательно две синие?
  Нет. Можем достать 2 черные и 2 красные.
• 3) Достать 6 ручек. Обязательно две красные?
  Нет. Максимум не-красных: 3 синие + 2 черные = 5. Шестая ручка будет красной. Седьмая тоже будет красной. Но если достать 6 ручек, это может быть 3 синие, 2 черные, 1 красная. Тогда только одна красная.
• 4) Достать 4 ручки. Обязательно две разных цветов?
  Да. Максимальное количество ручек одного цвета - 3 (синие). Если мы достаем 4 ручки, то они не могут быть все одного цвета. Значит, будут как минимум два разных цвета.

Окончательный вывод:

• Утверждение 1: Неверно (могут быть 3 синие).
• Утверждение 2: Неверно (могут быть 2 черные и 2 красные).
• Утверждение 3: Неверно (могут быть 3 синие, 2 черные, 1 красная).
• Утверждение 4: Верно. (Если достать 4 ручки, то они не могут быть все одного цвета, так как максимум одного цвета - 3 синие. Следовательно, будут ручки как минимум двух разных цветов).

Ответ: 4