11. Точки A, B, C и D лежат на одной окружности так, что хорды AB и CD взаимно перпендикулярны, а ∠BDC = 25°. Найдите величину угла ACD.

Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке O. Так как они перпендикулярны, ∠AOD = 90°.

Вписанный угол BDC опирается на дугу BC, поэтому эта дуга равна 2 · 25° = 50°.

Угол между пересекающимися хордами равен половине суммы дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального угла:

90° = (дуга AD + дуга BC) : 2, поэтому дуга AD = 180° − 50° = 130°.

Угол ACD — вписанный, он опирается на дугу AD. Следовательно, ∠ACD = 130° : 2 = 65°.

Ответ: 65°.