11. Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 3 часа, вернулись обратно через 7 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость лодки 5 км/ч?

Краткая запись:

• Скорость течения реки (v_тек): 3 км/ч
• Собственная скорость лодки (v_соб): 5 км/ч
• Время в пути (обратно + туда): 7 часов
• Время стоянки: 3 часа
• Найти: Расстояние от лагеря (S) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем чистое время движения лодки.
   \( 7 \text{ часов} - 3 \text{ часа (стоянка)} = 4 \) часа.
2. Шаг 2: Вычисляем скорость лодки вверх по течению (против течения).
   \( v_{\text{против}} = v_{\text{соб}} - v_{\text{тек}} = 5 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 2 \) км/ч.
3. Шаг 3: Вычисляем скорость лодки вниз по течению (по течению).
   \( v_{\text{по}} = v_{\text{соб}} + v_{\text{тек}} = 5 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 8 \) км/ч.
4. Шаг 4: Обозначим время движения вверх по течению как \( t_1 \), а время движения вниз по течению как \( t_2 \).
   \( t_1 + t_2 = 4 \) часа.
5. Шаг 5: Расстояние, которое проплыли туристы вверх по течению, равно расстоянию, которое они проплыли вниз по течению. Обозначим его как \( S \).
   \( S = v_{\text{против}} \cdot t_1 \) и \( S = v_{\text{по}} \cdot t_2 \).
6. Шаг 6: Выражаем \( t_1 \) и \( t_2 \) через \( S \):
   \( t_1 = \frac{S}{v_{\text{против}}} = \frac{S}{2} \)
   \( t_2 = \frac{S}{v_{\text{по}}} = \frac{S}{8} \).
7. Шаг 7: Подставляем выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \) в уравнение \( t_1 + t_2 = 4 \):
   \( \frac{S}{2} + \frac{S}{8} = 4 \).
8. Шаг 8: Приводим дроби к общему знаменателю (8):
   \( \frac{4S}{8} + \frac{S}{8} = 4 \)
   \( \frac{5S}{8} = 4 \).
9. Шаг 9: Находим \( S \):
   \( 5S = 4 \cdot 8 \)
   \( 5S = 32 \)
   \( S = \frac{32}{5} = 6.4 \) км.

Ответ: 6.4 км