11. В группе учится 25 студентов, из них 15 человек сдали зачёт по экономике и 15 сдали зачёт о английскому языку. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях, и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов.

Решение:

Обозначим:

• \( E \) — множество студентов, сдавших зачёт по экономике.
• \( A \) — множество студентов, сдавших зачёт по английскому языку.
• \( |U| = 25 \) — общее количество студентов в группе.
• \( |E| = 15 \) — количество сдавших по экономике.
• \( |A| = 15 \) — количество сдавших по английскому языку.

Используем формулу включений-исключений: \( |E \cup A| = |E| + |A| - |E \cap A| \).

\( |E \cup A| \) — количество студентов, сдавших хотя бы один зачёт.

\( |E \cap A| \) — количество студентов, сдавших оба зачёта.

Количество студентов, не сдавших ни одного зачёта, равно \( |U| - |E \cup A| \).

Найдем минимальное и максимальное количество студентов, сдавших оба зачёта:

• Минимальное \( |E \cap A| \): \( \max(0, |E| + |A| - |U|) = \max(0, 15 + 15 - 25) = \max(0, 5) = 5 \).
• Максимальное \( |E \cap A| \) не может быть больше \( \textrm{min}(|E|, |A|) = \textrm{min}(15, 15) = 15 \).

Значит, \( 5 ≤ |E ∩ A| ≤ 15 \).

Теперь проверим утверждения:

1. Утверждение 1: \( |U| - |E ∪ A| = 11 \).

\( |E ∪ A| = |E| + |A| - |E ∩ A| = 15 + 15 - |E ∩ A| = 30 - |E ∩ A| \).

\( 30 - |E ∩ A| = 25 - 11 = 14 \) (количество сдавших хотя бы один зачёт).

\( |E ∩ A| = 30 - 14 = 16 \). Это значение (16) выходит за пределы возможного \( |E ∩ A| ≤ 15 \). Значит, это утверждение неверно.

2. Утверждение 2: \( |E ∩ A| ≥ 5 \).

Мы нашли, что минимальное количество студентов, сдавших оба зачёта, равно 5. Значит, это утверждение верно.

3. Утверждение 3: \( |E ∩ A| < 16 \).

Максимальное количество студентов, сдавших оба зачёта, равно 15. Поскольку 15 < 16, это утверждение верно.

4. Утверждение 4: Количество студентов, не сдавших по английскому языку, но сдавших по экономике, равно 15.

Количество студентов, не сдавших по английскому языку, равно \( |U| - |A| = 25 - 15 = 10 \). Это не то, что утверждается. Утверждается, что \( |E \textrm{ — } A| = 15 \), где \( E \textrm{ — } A \) — разность множеств. \( |E \textrm{ — } A| = |E| - |E ∩ A| \). Минимальное значение \( |E \textrm{ — } A| = 15 - 15 = 0 \). Максимальное значение \( |E \textrm{ — } A| = 15 - 5 = 10 \). Значит, это утверждение неверно.

Ответ: 23.