11. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне, ∠A = 60°, AD = 20 см, BC = 15 см. Найдите периметр трапеции.

Если AD и BC — основания трапеции (как обычно следует из обозначения вершин ABCD по порядку), их длины равны 20 см и 15 см. В равнобедренной трапеции выступы большего основания равны: каждый составляет \((20-15):2=2.5\) см. Из \(\angle A=60°\) боковая сторона равна \(2.5/\cos60°=5\) см, а высота равна \(2.5\tan60°=2.5\sqrt3\) см.

Однако эти данные несовместимы с условием о перпендикулярности диагонали BD боковой стороне. При обычной нумерации координаты можно задать как A(0,0), D(20,0), B(2.5,\(2.5\sqrt3\)), C(17.5,\(2.5\sqrt3\)). Скалярные произведения векторов диагонали BD с направлениями обеих боковых сторон ненулевые, поэтому BD не перпендикулярна ни одной из них. Следовательно, такой трапеции не существует; вероятно, в условии ошибка в обозначении диагонали или боковой стороны.