11) В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Докажите, что BMKN — ромб.

Так как M и K — середины AB и AC, отрезок MK — средняя линия треугольника ABC. Поэтому \(MK = BC/2\). Поскольку N — середина BC, имеем \(BN = BC/2\).

Так как M и N — середины AB и BC, отрезок MN — средняя линия треугольника ABC, поэтому \(MN = AC/2\). Также \(BM = AB/2\) и \(KN = AC/2\), поскольку K и N — середины AC и BC? Следовательно, KN параллелен AB и равен \(AB/2\).

Уточним стороны четырёхугольника BMKN: \(BM = AB/2\), \(MK = BC/2\), \(KN = AC/2\), \(NB = BC/2\). В равностороннем треугольнике \(AB = BC = CA\), поэтому все четыре стороны равны половине стороны ABC. Следовательно, BMKN — ромб.

Доказано.