11. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает \(\frac{2}{3}\) высоты. Объём жидкости равен 60 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота.

Объем жидкости, который находится в конусе, составляет \(\frac{2}{3}\) его высоты. Пусть \( V_ж \) — объём жидкости, \( V_{сос} \) — полный объём сосуда.

Объем жидкости \( V_ж \) пропорционален кубу радиуса основания усеченного конуса. Если уровень жидкости достигает \(\frac{2}{3}\) высоты, то радиус жидкости \( r_ж = \frac{2}{3} r \), где \( r \) — радиус основания конуса.

Объем жидкости, который заполняет конус до \(\frac{2}{3}\) высоты, равен:

\( V_ж = \frac{1}{3} \pi (\frac{2}{3} r)^2 \cdot \frac{2}{3} h = \frac{1}{3} \pi \frac{4}{9} r^2 \cdot \frac{2}{3} h = \frac{8}{27} \left( \frac{1}{3} \pi r^2 h \right) \)

Таким образом, \( V_ж = \frac{8}{27} V_{сос} \). Нам дано, что \( V_ж = 60 \text{ мл} \).

\( 60 \text{ мл} = \frac{8}{27} V_{сос} \)

\( V_{сос} = 60 \cdot \frac{27}{8} = \frac{1620}{8} = 202.5 \text{ мл} \)

Чтобы найти, сколько жидкости нужно долить, нужно вычесть объём жидкости из полного объёма сосуда:

\( V_{долить} = V_{сос} - V_ж = 202.5 - 60 = 142.5 \text{ мл} \)

Ответ: 142.5 мл.