12. В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС отмечены точки М и К соответственно так, что ВМ : AB = 1 : 2, а BK : BC = 5 : 8. Во сколько раз площадь треугольника АВС больше площади треугольника МВК?

Решение:

Пусть \( S_{MBK} \) — площадь треугольника МВК, а \( S_{ABC} \) — площадь треугольника АВС.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: \( S = \frac{1}{2} ab \sin C \), где \( a \) и \( b \) — две стороны треугольника, а \( C \) — угол между ними.

Для треугольника МВК: \( S_{MBK} = \frac{1}{2} BM · BK · \sin \angle B \).

Для треугольника АВС: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AB · BC · \sin \angle B \).

По условию:

\( BM : AB = 1 : 2 \implies BM = \frac{1}{2} AB \)

\( BK : BC = 5 : 8 \implies BK = \frac{5}{8} BC \)

Теперь найдём отношение площадей:

\( \frac{S_{ABC}}{S_{MBK}} = \frac{\frac{1}{2} AB · BC · \sin \angle B}{\frac{1}{2} BM · BK · \sin \angle B} = \frac{AB · BC}{BM · BK} \)

Подставим выражения для \( BM \) и \( BK \):

\( \frac{S_{ABC}}{S_{MBK}} = \frac{AB · BC}{(\frac{1}{2} AB) · (\frac{5}{8} BC)} = \frac{AB · BC}{\frac{5}{16} AB · BC} = \frac{1}{\frac{5}{16}} = \frac{16}{5} \)

Таким образом, площадь треугольника АВС больше площади треугольника МВК в \(\frac{16}{5}\) раза.

\(\frac{16}{5} = 3.2 \)

Ответ: Площадь треугольника АВС в 3.2 раза больше площади треугольника МВК.