№ 11. Вероятность того, что первый ученик решит задачу, равна 0,7, а второй - 0,8. Найдите вероятность того, что: а) задачу решат оба ученика; б) задачу решит хотя бы один ученик.

Дано:

• Вероятность, что первый ученик решит задачу (P(A)) = 0.7
• Вероятность, что второй ученик решит задачу (P(B)) = 0.8

Найти:

а) Вероятность, что оба решат задачу (P(A и B)).

б) Вероятность, что хотя бы один решит задачу (P(A или B)).

Решение:

События независимы, так как решение задачи одним учеником не влияет на решение другим.

1. а) Вероятность, что оба решат задачу:

   Для независимых событий P(A и B) = P(A) * P(B)

   \[ P(\text{оба}) = P(A) \times P(B) = 0.7 \times 0.8 = 0.56 \]

2. б) Вероятность, что хотя бы один решит задачу:

   Проще найти вероятность противоположного события (что оба НЕ решат задачу), а затем вычесть ее из 1.

   Вероятность, что первый НЕ решит: P(не A) = 1 - P(A) = 1 - 0.7 = 0.3

   Вероятность, что второй НЕ решит: P(не B) = 1 - P(B) = 1 - 0.8 = 0.2

   Вероятность, что оба НЕ решат: P(не A и не B) = P(не A) * P(не B) = 0.3 * 0.2 = 0.06

   Теперь найдем вероятность, что хотя бы один решит:

   \[ P(\text{хотя бы один}) = 1 - P(\text{оба не решат}) = 1 - 0.06 = 0.94 \]

   Альтернативный способ для б):

   P(A или B) = P(A) + P(B) - P(A и B)

   \[ P(\text{хотя бы один}) = 0.7 + 0.8 - 0.56 = 1.5 - 0.56 = 0.94 \]

Ответ: а) 0.56; б) 0.94