11. Вычислите интеграл: \(\int_{1}^{3} 5x^{4}dx\)

Решение:

Воспользуемся правилом интегрирования степенной функции: \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).

Сначала найдём первообразную для \( 5x^4 \):

\( \int 5x^4 dx = 5 \int x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5 \).

Теперь вычислим определённый интеграл, подставив пределы интегрирования:

\( \int_{1}^{3} 5x^4 dx = [x^5]_{1}^{3} = 3^5 - 1^5 \).

\( 3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 \times 3 = 81 \times 3 = 243 \).

\( 1^5 = 1 \).

\( 243 - 1 = 242 \).

Ответ: 242