11. Высота ВН параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки АН= 7 и HD = 24. Диагональ параллелограмма BD равна 51. Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

В параллелограмме ABCD высота BH опущена на сторону AD. Получаем два прямоугольных треугольника: \( \triangle ABH \) и \( \triangle BDH \). По условию, \( AH = 7 \) и \( HD = 24 \).

Сторона AD = AH + HD = 7 + 24 = 31.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle BDH \). По теореме Пифагора:

\( BH^2 + HD^2 = BD^2 \)

\( BH^2 + 24^2 = 51^2 \)

\( BH^2 + 576 = 2601 \)

\( BH^2 = 2601 - 576 = 2025 \)

\( BH = \sqrt{2025} = 45 \).

Высота параллелограмма BH = 45.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: \( S = основание \cdot высота \).

\( S = AD \cdot BH = 31 \cdot 45 \).

\( 31 \cdot 45 = 31 \cdot (40 + 5) = 31 \cdot 40 + 31 \cdot 5 = 1240 + 155 = 1395 \).

Ответ: 1395