110. В прямоугольной трапеции ABCD ∠A=90°. Диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Найдите площадь трапеции, если CD=6√2, ∠D=45°.

Обозначим основания трапеции через AD и BC, а расстояние между ними — через AB.

1. Так как ∠D=45° и ∠A=90°, получаем прямоугольный равнобедренный треугольник, поэтому AB=AD−BC.
2. Из условия AC⊥CD. При таких углах это даёт AB=BC.
3. Пусть BC=x. Тогда AB=x, а AD=2x.
4. По теореме Пифагора для боковой стороны CD: CD=x√2. Поэтому x√2=6√2, откуда x=6.
5. Следовательно, BC=6, AD=12, высота AB=6.
6. Площадь трапеции: \(S=\frac{AD+BC}{2}\cdot AB=\frac{12+6}{2}\cdot6=54\).

Ответ: 54.