110. В треугольнике АВС AC=BC, AB=10, АН – высота, ВН=5. Найдите косинус угла ВАС.

Решение:

В треугольнике \( ABC \) \( AC = BC \), значит, треугольник равнобедренный. \( AB = 10 \). \( AH \) — высота, проведенная к стороне \( BC \). \( BH = 5 \).

В \( \triangle AHB \), \( \angle AHB = 90^{\circ} \). По теореме Пифагора:

\( AH^2 + BH^2 = AB^2 \)

\( AH^2 + 5^2 = 10^2 \)

\( AH^2 + 25 = 100 \)

\( AH^2 = 75 \)

\( AH = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \)

Так как \( AC = BC \), пусть \( AC = BC = x \). Тогда \( HC = BC - BH = x - 5 \).

В \( \triangle AHC \), \( \angle AHC = 90^{\circ} \).

\( AH^2 + HC^2 = AC^2 \)

\( 75 + (x-5)^2 = x^2 \)

\( 75 + x^2 - 10x + 25 = x^2 \)

\( 100 - 10x = 0 \)

\( 10x = 100 \)

\( x = 10 \)

Значит, \( AC = BC = 10 \). Треугольник \( ABC \) равносторонний, так как \( AB = AC = BC = 10 \).

В равностороннем треугольнике все углы равны \( 60^{\circ} \).

Косинус угла \( BAC \) равен \( \cos(60^{\circ}) \).

\( \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( \cos(\angle BAC) = \frac{1}{2} \).