1122. \(\frac{3}{4} : \frac{5}{7} : \frac{8}{9} : \frac{7}{10} : \left(\frac{15}{16} \cdot \frac{14}{39} \cdot \frac{24}{25} \cdot \frac{13}{21}\right) : \left(2 \frac{1}{8} \cdot 2 \frac{2}{7} \cdot 2 \frac{15}{17} \cdot 4 \frac{2}{3} : 196\right)\)

Решение:

Данное выражение содержит последовательность делений и умножений, а также два блока в скобках. Для решения необходимо преобразовать смешанные числа в неправильные дроби и выполнять действия согласно порядку.

1. Первая часть (до первой скобки):
• \(\frac{3}{4} : \frac{5}{7} : \frac{8}{9} : \frac{7}{10} = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{9}{8} \cdot \frac{10}{7}\).
• Сократим: \(\frac{7}{7} = 1\), \(\frac{10}{5} = 2\), \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
• Получаем: \(\frac{3}{2} \cdot \frac{9}{8} = \frac{27}{16}\).
2. Первая скобка:
• \(\frac{15}{16} \cdot \frac{14}{39} \cdot \frac{24}{25} \cdot \frac{13}{21}\).
• Сократим: \(\frac{15}{25} = \frac{3}{5}\), \(\frac{14}{21} = \frac{2}{3}\), \(\frac{13}{39} = \frac{1}{3}\), \(\frac{24}{16} = \frac{3}{2}\).
• Получаем: \(\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}\).
• Сократим: \(\frac{3}{3}=1\), \(\frac{2}{2}=1\), \(\frac{3}{3}=1\).
• Остается: \(\frac{1}{5}\).
3. Вторая скобка:
• Преобразуем смешанные числа: \(2 \frac{1}{8} = \frac{17}{8}\), \(2 \frac{2}{7} = \frac{16}{7}\), \(2 \frac{15}{17} = \frac{34+15}{17} = \frac{49}{17}\), \(4 \frac{2}{3} = \frac{14}{3}\).
• Вычислим умножение: \(\frac{17}{8} \cdot \frac{16}{7} \cdot \frac{49}{17} \cdot \frac{14}{3}\).
• Сократим: \(\frac{17}{17}=1\), \(\frac{16}{8}=2\), \(\frac{49}{7}=7\).
• Получаем: \(2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot \frac{14}{3} = \frac{14 \cdot 14}{3} = \frac{196}{3}\).
• Теперь разделим на 196: \(\frac{196}{3} : 196 = \frac{196}{3} \cdot \frac{1}{196} = \frac{1}{3}\).
4. Собираем все вместе:
• \(\frac{27}{16} : \frac{1}{5} : \frac{1}{3}\).
• \(\frac{27}{16} \cdot 5 \cdot 3\).
• \(\frac{27 \cdot 15}{16} = \frac{405}{16}\).

Ответ: \(\frac{405}{16}\)