113. Решите неравенство: 1) x² + x − 30 < 0; 2) x² − 10x + 16 ≥ 0; 3) −x² + 0,8x + 2,4 > 0; 4) −2x² + 7x − 6 < 0; 5) 2x² − 50x ≥ 0; 6) 4x² − 49 < 0; 7) 16x² − 8x + 1 > 0; 8) x² + 10x + 25 ≥ 0; 9) 2x² − 3x + 4 > 0; 10) 9x² − 6x + 1 ≤ 0; 11) 4x² − 20x + 25 < 0; 12) 3x² − x + 2 ≤ 0.

Question

Вопрос:

Фото задания

113. Решите неравенство: 1) x² + x − 30 < 0; 2) x² − 10x + 16 ≥ 0; 3) −x² + 0,8x + 2,4 > 0; 4) −2x² + 7x − 6 < 0; 5) 2x² − 50x ≥ 0; 6) 4x² − 49 < 0; 7) 16x² − 8x + 1 > 0; 8) x² + 10x + 25 ≥ 0; 9) 2x² − 3x + 4 > 0; 10) 9x² − 6x + 1 ≤ 0; 11) 4x² − 20x + 25 < 0; 12) 3x² − x + 2 ≤ 0.

Accepted Answer

Разложим на множители: \(x^2+x-30=(x+6)(x-5)\). Парабола направлена вверх, поэтому выражение отрицательно между корнями: \(x\in(-6;5)\).
Корни трёхчлена: \(x^2-10x+16=(x-2)(x-8)\). Выражение неотрицательно вне промежутка между корнями, включая корни: \(x\in(-\infty;2]\cup[8;+\infty)\).
Умножим неравенство на \(-1\), поменяв знак: \(x^2-0,8x-2,4<0\). Корни — \(-1,2\) и \(2\), значит \(x\in(-1,2)\).
Неравенство равносильно \(2x^2-7x+6>0\), то есть \((2x-3)(x-2)>0\). Положительное значение получается вне корней: \(x\in(-\infty;1,5)\cup(2;+\infty)\).
Вынесем общий множитель: \(2x(x-25)\ge0\). Произведение неотрицательно вне корней: \(x\in(-\infty;0]\cup[25;+\infty)\).
\(4x^2-49=(2x-7)(2x+7)\). Выражение отрицательно между корнями: \(x\in(-3,5;3,5)\).
\(16x^2-8x+1=(4x-1)^2\). Квадрат положителен при всех \(x\), кроме точки, где он равен нулю: \(x\in\mathbb R\setminus\{1/4\}\).
\(x^2+10x+25=(x+5)^2\ge0\) при любом действительном \(x\). \(x\in\mathbb R\).
Дискриминант \(D=(-3)^2-4\cdot2\cdot4=-23<0\), а старший коэффициент положителен. Трёхчлен всегда положителен: \(x\in\mathbb R\).
\(9x^2-6x+1=(3x-1)^2\). Квадрат неотрицателен и равен нулю при \(x=1/3\): \(x=1/3\).
\(4x^2-20x+25=(2x-5)^2\). Квадрат не может быть меньше нуля: решений нет, \(\varnothing\).
Дискриминант \(D=(-1)^2-4\cdot3\cdot2=-23<0\), старший коэффициент положителен, поэтому трёхчлен всегда положителен. Решений нет, \(\varnothing\).

Ответ: