1145. Докажите тождество Диофанта Александрийского: $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1145. Докажите тождество Диофанта Александрийского: $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$.$ Фото задания

Accepted Answer

Раскроем скобки в правой части:

$(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2.$

Сложим подобные слагаемые: $2abcd-2abcd=0$, поэтому получаем $a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2.$

Вынесем общие множители группами: $a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)=(a^2+b^2)(c^2+d^2).$

Правая часть равна левой, следовательно, тождество доказано.

1145. Докажите тождество Диофанта Александрийского: \((a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\).