115. Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

Краткое пояснение:

• Медиана, проведенная из вершины, делит противолежащую сторону пополам.
• Высота, проведенная из той же вершины, перпендикулярна противолежащей стороне.
• Если медиана совпадает с высотой, то это означает, что треугольник обладает определенной симметрией.
• Для доказательства будем использовать признаки равенства треугольников.

Решение:

1. Дано: В треугольнике ABC, медиана AM является высотой.
2. Доказать: △ABC — равнобедренный (AB = AC).
3. Доказательство:
• Так как AM — медиана, то M — середина стороны BC, следовательно, BM = MC.
• Так как AM — высота, то AM ⊥ BC, следовательно, ∠AMB = ∠AMC = 90°.
• Рассмотрим треугольники △AMB и △AMC.
• Сторона AM — общая для обоих треугольников.
• BM = MC (по определению медианы).
• ∠AMB = ∠AMC = 90° (по определению высоты).
• По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), △AMB = △AMC.
• Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны, в том числе AB = AC.
• Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC.