12. (1 балл) Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t³ - t² - √2t + 2√3, где x – расстояние от точки x = 0 в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой самый поздний момент времени её скорость составляла 2 м/с? Ответ дайте в секундах.

Решение:

Скорость материальной точки является первой производной от координаты по времени: \( v(t) = x'(t) \).

1. Найдем производную от закона движения \( x(t) = t^3 - t^2 - √{2}t + 2√{3} \):

\( v(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - t^2 - √{2}t + 2√{3}) \) \( v(t) = 3t^2 - 2t - √{2} \).

2. По условию задачи, скорость точки составляла 2 м/с. Приравняем выражение для скорости к 2:

\( 3t^2 - 2t - √{2} = 2 \) \( 3t^2 - 2t - (√{2} + 2) = 0 \).

3. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( t \). Используем формулу дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \).

\( a = 3 \), \( b = -2 \), \( c = -(√{2} + 2) \).

\( D = (-2)^2 - 4 \times 3 \times (-(√{2} + 2)) \) \( D = 4 + 12(√{2} + 2) \) \( D = 4 + 12√{2} + 24 \) \( D = 28 + 12√{2} \).

4. Найдем корни уравнения по формуле \( t = \frac{-b ± √{D}}{2a} \).

\( t = \frac{2 ± √{28 + 12√{2}}}{2 \times 3} \) \( t = \frac{2 ± √{28 + 12√{2}}}}{6} \).

5. Поскольку время \( t \) не может быть отрицательным (движение начато с \( t=0 \)), нас интересует положительный корень.

Для упрощения \( √{28 + 12√{2}} \) попытаемся выделить полный квадрат под корнем.

\( 28 + 12√{2} = 28 + √{144 \times 2} = 28 + √{288} \).

Возможно, в условии задачи была опечатка, и скорость должна быть такой, чтобы корень из дискриминанта извлекался. Проверим, если бы скорость была, например, 1 м/с.

\( 3t^2 - 2t - √{2} = 1 \) \( 3t^2 - 2t - (√{2} + 1) = 0 \) \( D = 4 - 4 \times 3 \times (-(√{2} + 1)) = 4 + 12√{2} + 12 = 16 + 12√{2} \).

Проверим, если бы скорость была \( -√{2} \) м/с.

\( 3t^2 - 2t - √{2} = -√{2} \) \( 3t^2 - 2t = 0 \) \( t(3t - 2) = 0 \) \( t_1 = 0, t_2 = \frac{2}{3} \).

Предположим, что в условии опечатка и скорость была \( -√{2} \) м/с. Тогда позднейший момент времени — \( t = \frac{2}{3} \) секунды.

Однако, следуя условию задачи:

\( t = \frac{2 ± √{28 + 12√{2}}}}{6} \).

Вычислим приближенное значение \( √{2} ≈ 1.414 \).

\( 28 + 12 \times 1.414 = 28 + 16.968 = 44.968 \).

\( √{44.968} ≈ 6.706 \).

\( t_1 = \frac{2 + 6.706}{6} = \frac{8.706}{6} ≈ 1.451 \) секунд.

\( t_2 = \frac{2 - 6.706}{6} = \frac{-4.706}{6} ≈ -0.784 \) секунд. (Не подходит, так как время должно быть положительным).

Если предположить, что в условии задачи была опечатка и использовалась скорость, приводящая к целому или простому корню.

Однако, полагаясь строго на условие:

\( 3t^2 - 2t - √{2} = 2 \)

\( 3t^2 - 2t - (2 + √{2}) = 0 \)

\( t = \frac{2 ± √{4 - 4 \times 3 \times (-(2+√{2}))}}}{6} \)

\( t = \frac{2 ± √{4 + 12(2+√{2})}}}{6} \)

\( t = \frac{2 ± √{4 + 24 + 12√{2}}}}{6} \)

\( t = \frac{2 ± √{28 + 12√{2}}}}{6} \).

Поскольку требуется найти самый поздний момент времени, выбираем положительный корень:

\( t = \frac{2 + √{28 + 12√{2}}}}{6} \).

Ответ: √{28 + 12√{2}}}/6 + 1/3