13. (3 балла) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = -x²+x+6, y = X/3

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, нужно найти точки их пересечения, а затем вычислить определенный интеграл разности функций между этими точками.

1. Найдем точки пересечения кривых \( y = -x^2 + x + 6 \) и \( y = \frac{x}{3} \). Приравняем уравнения:

\( -x^2 + x + 6 = \frac{x}{3} \) \( -x^2 + x - \frac{x}{3} + 6 = 0 \) \( -x^2 + \frac{2x}{3} + 6 = 0 \) \( x^2 - \frac{2x}{3} - 6 = 0 \)

Умножим на 3, чтобы избавиться от дроби:

\( 3x^2 - 2x - 18 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):

\( a = 3, b = -2, c = -18 \) \( D = (-2)^2 - 4 \times 3 \times (-18) = 4 + 12 \times 18 = 4 + 216 = 220 \) \( √{D} = √{220} = √{4 \times 55} = 2√{55} \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-b - √{D}}{2a} = \frac{2 - 2√{55}}}{2 \times 3} = \frac{1 - √{55}}}{3} \) \( x_2 = \frac{-b + √{D}}{2a} = \frac{2 + 2√{55}}}{2 \times 3} = \frac{1 + √{55}}}{3} \)

2. Определим, какая функция находится выше на интервале \( [x_1, x_2] \). Парабола \( y = -x^2 + x + 6 \) ветвями вниз, а \( y = \frac{x}{3} \) — прямая. В интервале между корнями парабола будет выше прямой, если начало отсчета \( x=0 \) попадает между корнями. \( x_1 ≈ \frac{1 - 7.4}{3} ≈ -2.1 \), \( x_2 ≈ \frac{1 + 7.4}{3} ≈ 2.8 \). Действительно, \( x=0 \) попадает в этот интервал. Следовательно, \( -x^2 + x + 6 – \frac{x}{3} ≥ 0 \) на этом интервале.

3. Площадь фигуры \( S \) вычисляется как:

\( S = ∫_{x_1}^{x_2} \big( (-x^2 + x + 6) - \frac{x}{3} \big) dx \) \( S = ∫_{x_1}^{x_2} \big( -x^2 + \frac{2x}{3} + 6 \big) dx \)

4. Найдем первообразную:

\( F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{2x^2}{6} + 6x = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{3} + 6x \)

5. Вычислим определенный интеграл:

\( S = F(x_2) - F(x_1) \)

Заметим, что \( -x^2 + \frac{2x}{3} + 6 = -\frac{1}{3}(3x^2 - 2x - 18) \).

Если \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), то \( ∫_{x_1}^{x_2} (ax^2 + bx + c) dx = -\frac{a(x_2 - x_1)^3}{6} \).

В нашем случае, \( a = -1, b = \frac{2}{3}, c = 6 \) для \( -x^2 + \frac{2x}{3} + 6 \).

\( x_2 - x_1 = \frac{1 + √{55}}}{3} - \frac{1 - √{55}}}{3} = \frac{1 + √{55} - 1 + √{55}}}{3} = \frac{2√{55}}}{3} \).

\( S = -\frac{(-1)(x_2 - x_1)^3}{6} = \frac{1}{6} \big(\frac{2√{55}}}{3}\big)^3 \)

\( S = \frac{1}{6} \times \frac{8 \times (√{55})^3}{27} = \frac{8}{162} \times 55√{55} = \frac{4}{81} \times 55√{55} = \frac{220√{55}}}{81} \).

Ответ: ∂{220√{55}} / 81