12) ABC — треугольник, R — радиус описанной окружности. R = ? 13) ABC — треугольник. AB = ? 14) Определите вид треугольника ABC: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный, если AB = 2, BC = 3, AC = 4.

12. Решение:

В данном треугольнике известны два угла: 40° и 80°. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому третий угол равен:

\[ 180° - 40° - 80° = 60° \]

По теореме синусов:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

В данном случае, известна сторона, противолежащая углу 40°, которая равна √3. Примем сторону, противолежащую углу 40°, за 'a', тогда A = 40°.

\[ \frac{\sqrt{3}}{\sin 40°} = 2R \]

Следовательно,

\[ R = \frac{\sqrt{3}}{2 \sin 40°} \]

Ответ: \[ R = \frac{\sqrt{3}}{2 \sin 40°} \]

13. Решение:

В данном треугольнике известны две стороны (3√5 и 3√2) и угол между ними (135°). Используем теорему косинусов для нахождения стороны AB (обозначим ее как 'c'):

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \]

Подставим известные значения:

\[ AB^2 = (3\sqrt{5})^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2(3\sqrt{5})(3\sqrt{2}) \cos 135° \]

Рассчитаем квадраты сторон:

\[ (3\sqrt{5})^2 = 9 \times 5 = 45 \]

\[ (3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18 \]

Значение косинуса 135°:

\[ \cos 135° = -\cos (180° - 135°) = -\cos 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь подставим все обратно в теорему косинусов:

\[ AB^2 = 45 + 18 - 2(3\sqrt{5})(3\sqrt{2}) \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

\[ AB^2 = 63 - 18\sqrt{10} \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

\[ AB^2 = 63 + 9\sqrt{20} \]

\[ AB^2 = 63 + 9\sqrt{4 \times 5} \]

\[ AB^2 = 63 + 9 \times 2\sqrt{5} \]

\[ AB^2 = 63 + 18\sqrt{5} \]

Таким образом, сторона AB равна:

\[ AB = \sqrt{63 + 18\sqrt{5}} \]

Ответ: \[ AB = \sqrt{63 + 18\sqrt{5}} \]

14. Решение:

Для определения вида треугольника, используя длины сторон AB = 2, BC = 3, AC = 4, мы можем применить теорему косинусов, чтобы найти косинус одного из углов, или использовать следствие из теоремы Пифагора.

Сравним квадраты сторон:

\[ AC^2 = 4^2 = 16 \]

\[ AB^2 = 2^2 = 4 \]

\[ BC^2 = 3^2 = 9 \]

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора или ее следствия:

1. Если > AC^2 = AB^2 + BC^2, то треугольник прямоугольный. > 16 = 4 + 9 > 16 = 13 (Неверно)

2. Если > AC^2 > AB^2 + BC^2, то треугольник тупоугольный (угол C тупой). > 16 > 13 (Верно)

3. Если > AC^2 < AB^2 + BC^2, то треугольник остроугольный.

Так как > AC^2 > AB^2 + BC^2 (16 > 13), то треугольник тупоугольный.

Ответ: в) тупоугольный