12 Антон и Миша считают деревья, растущие вокруг пруда. Они двигаются в одном направлении, но начинают счёт с разных деревьев. То дерево, которое Миша назвал двадцатым, для Антона оказалось четвёртым, а дерево, которое Миша назвал десятым, для Антона оказалось сорок шестым. Сколько деревьев растёт вокруг пруда? (A) 50 (B) 52 (C) 56 (D) 60 (E) 80

Решение:

Пусть N — общее количество деревьев. Миша назвал 20-е дерево, которое для Антона было 4-м. Это значит, что между ними 20 - 4 = 16 деревьев. Значит, N = 20 + 16 = 36, или N = 4 + (20-1) = 39. Но это неверно, так как Миша и Антон считают с разных деревьев. Количество деревьев между ними одинаково: 20 - 4 = 16. А также 10 - 46 = -36. Это означает, что Миша считает в одном направлении, а Антон — в другом. Когда Миша называет 20-е дерево, оно для Антона 4-е. Когда Миша называет 10-е дерево, оно для Антона 46-е. Разница в номерах для Миши: 20-10=10. Разница в номерах для Антона: 46-4=42. Таким образом, 10 деревьев по счёту Миши соответствуют 42 деревьям по счёту Антона. Разница в 32 дерева. Это означает, что общее количество деревьев N = 42 + (10 - 1) = 51. Проверим: Миша считает 10-е, Антон — 46-е. Если всего 51 дерево, то 10-е дерево Миши — это 10-е по счёту. Для Антона это будет 51 - 10 + 46 = 87 (неверно). Если 10-е дерево Миши — это 46-е дерево Антона, то общее количество деревьев N = (10 + 46) - 1 = 55. Проверим: если N=55, то 20-е дерево Миши для Антона будет 55 - 20 + 4 = 39-е (неверно). Воспользуемся другим методом. Пусть x — деревья, которые считает Миша, а y — деревья, которые считает Антон. Тогда y = x + k, где k — постоянная разница. Для первого случая: 4 = 20 + k, k = -16. Для второго случая: 46 = 10 + k, k = 36. Разница k отличается, значит, это не линейная зависимость. Пусть N — общее количество деревьев. Когда Миша считает 20-м, Антон считает 4-м. Это значит, что 20-е дерево Миши — это 4-е дерево Антона. Дерево, которое Миша считает 10-м, для Антона — 46-е. Количество деревьев между 20-м Миши и 10-м Миши равно 20 - 10 = 10. Количество деревьев между 4-м Антоном и 46-м Антоном равно 46 - 4 = 42. Разница в 32 деревья. Значит, общее число деревьев N = 10 + 42 = 52. Проверим: 10 деревьев по счету Миши - это 10 деревьев. 42 дерева по счету Антона - это 42 дерева. Общее количество деревьев N = 52. Тогда 20-е дерево Миши соответствует 20-му дереву. 4-е дерево Антона соответствует 4-му дереву. Разница: 20 - 4 = 16. 46-е дерево Антона соответствует 46-му дереву. 10-е дерево Миши соответствует 10-му дереву. Разница: 46 - 10 = 36. Таким образом, общее количество деревьев N = 10 + 36 = 46. Или N = 20 + 16 = 36. Нет, это неверно. Пусть N - общее количество деревьев. Положение дерева в круге можно определить как \( k \) (номер дерева) + \( c \) (смещение начала отсчета). Для Миши \( c_M = 0 \) (он начинает с первого дерева). Для Антона \( c_A \) — смещение. Когда Миша называет 20-е дерево, это \( 20 \)-е дерево. Для Антона это 4-е. Значит, \( 20 \) дерево — это \( 4 \)-е дерево Антона. \( 4 = 20 + c_A \), \( c_A = -16 \). Когда Миша называет 10-е дерево, для Антона это 46-е. \( 46 = 10 + c_A \). \( c_A = 36 \). Это противоречие. Предположим, что они считают в одном направлении, но с разных деревьев. Пусть \( N \) — общее количество деревьев. Когда Миша считает 20-м, это \( k \)-е дерево. Для Антона оно 4-е. То есть \( k = 20 \) для Миши, \( k = 4 \) для Антона. Разница в номерах \( 20 - 4 = 16 \) деревьев. Это разница в начале отсчета. Количество деревьев между 20-м и 4-м — 16. Когда Миша считает 10-м, Антон считает 46-м. Разница \( 46 - 10 = 36 \) деревьев. Значит, всего деревьев \( N = 10 + 36 = 46 \) или \( N = 4 + 16 = 20 \). Это не сходится. Пусть \( n \) - общее количество деревьев. Пусть \( x \) - номер дерева, которое считает Миша, \( y \) - номер дерева, которое считает Антон. \( y = x + d \) (mod N). \( 4 = 20 + d \) (mod N) \( \implies d \equiv -16 \pmod{N} \). \( 46 = 10 + d \) (mod N) \( \implies d \equiv 36 \pmod{N} \). \( -16 \equiv 36 \pmod{N} \) \( \implies 52 \equiv 0 \pmod{N} \). \( N \) должно быть делителем 52. Возможные значения \( N \): 1, 2, 4, 13, 26, 52. Если \( N=52 \), то \( d \equiv 36 \pmod{52} \) или \( d = 36 \). Тогда \( 4 = 20 + 36 \pmod{52} = 56 \bmod 52 = 4 \). Верно. Также \( d = -16 \pmod{52} = 36 \). Верно. Поэтому \( N=52 \).

Ответ: (B) 52