12. Дано: AC = 16 см, AD = DC, BE = 4 см (рис. 12). Найти: S_ABE, S_BEC.

На рисунке 12 изображен треугольник ABC, на стороне AC отмечены точки D и E. Известно, что AC = 16 см, AD = DC, что означает, что D — середина AC. Также дано, что BE = 4 см.

Поскольку D — середина AC, то AD = DC = 16 см / 2 = 8 см.

Нам нужно найти площади треугольников ABE и BEC. Для этого нам нужно знать высоту, проведенную из вершины B к основанию AC. Пусть эта высота будет h.

\[ S_{ABE} = \frac{1}{2} \times AE \times h \]

\[ S_{BEC} = \frac{1}{2} \times EC \times h \]

Однако, рисунок 12 показывает, что E находится между D и C, и BE — это высота, проведенная из B к AC. То есть BE = h = 4 см.

Теперь нам нужно определить длины отрезков AE и EC. Из рисунка видно, что E находится между D и C. Точное положение E не указано, кроме того, что BE является высотой. Если предположить, что BE — это высота, то ∠BEA = ∠BEC = 90°.

Нам неизвестно положение точки E на AC. Мы знаем, что AD = DC = 8 см. Если E совпадает с D, то AE = 8 и EC = 8. Тогда:

\[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AD \times BE = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 \text{ см}^2 \]

\[ S_{BDC} = \frac{1}{2} \times DC \times BE = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 \text{ см}^2 \]

Но задание просит найти S_ABE и S_BEC. Если E — это точка, такая что BE является высотой, то нам нужно знать положение E. Без дополнительной информации о положении точки E, мы не можем точно определить AE и EC.

Предположим, что E совпадает с D, так как BE проходит через D и является высотой. Тогда AE = AD = 8 см и EC = DC = 8 см.

\[ S_{ABE} = S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AD \times BE = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 \text{ см}^2 \]

\[ S_{BEC} = S_{BDC} = \frac{1}{2} \times DC \times BE = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 \text{ см}^2 \]

В этом случае S_ABE = 16 см² и S_BEC = 16 см².

Если точка E находится в другом месте, то решение будет другим. Однако, если BE — это высота, и E отмечена как точка на AC, то AE и EC будут зависеть от положения E.

В контексте школьных задач, если BE = 4 см и является высотой, а D — середина AC, то скорее всего, E = D.

Ответ: S_ABE = 16 см², S_BEC = 16 см² (при условии, что E совпадает с D).