12. Докажите, что если длины ненулевых неколлинеарных векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равны, то векторы \(\vec a+\vec b\) и \(\vec a-\vec b\) перпендикулярны.

Используем свойство скалярного произведения и условие \(|\vec a|=|\vec b|\):

\[ (\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=\vec a\cdot\vec a-\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec a-\vec b\cdot\vec b. \]

Поскольку \(\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a\), смешанные слагаемые сокращаются. Тогда

\[ (\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=|\vec a|^2-|\vec b|^2=0. \]

Скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы перпендикулярны. Условия ненулевости и неколлинеарности гарантируют, что оба вектора \(\vec a+\vec b\) и \(\vec a-\vec b\) ненулевые.