12. Две стороны треугольника равны 5 см и 21 см, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь

Решение:

Пусть стороны треугольника равны \( a = 5 \text{ см} \) и \( b = 21 \text{ см} \), а угол между ними \( \gamma = 60^{\circ} \).

1. Нахождение третьей стороны (c):

По теореме косинусов:

\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) \)

\( c^2 = 5^2 + 21^2 - 2 \cdot 5 \cdot 21 \cos(60^{\circ}) \)

\( c^2 = 25 + 441 - 2 \cdot 5 \cdot 21 \cdot \frac{1}{2} \)

\( c^2 = 25 + 441 - 105 \)

\( c^2 = 466 - 105 \)

\( c^2 = 361 \)

\( c = \sqrt{361} = 19 \) см.

2. Нахождение площади треугольника:

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними:

\( S = \frac{1}{2} ab \sin(\gamma) \)

\( S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 21 \sin(60^{\circ}) \)

\( S = \frac{1}{2} \cdot 105 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( S = \frac{105\sqrt{3}}{4} \) см².

Ответ: Третья сторона равна 19 см, площадь равна \(\frac{105\sqrt{3}}{4}\) см².