12. Какие из выражений имеют смысл: $\log_2 5^{-3}$, $\log_2(-5)$, $\log_2(-5)^3$, $\log_2(-5)^2$, $2^{\log_2\frac12}$, $\log_2\log_2\frac12$?

Question

Вопрос: $Фото задания: 12. Какие из выражений имеют смысл: $\log_2 5^{-3}$, $\log_2(-5)$, $\log_2(-5)^3$, $\log_2(-5)^2$,…$ Фото задания

Accepted Answer

Логарифм $\log_2 x$ определён, если его аргумент положителен. Основание 2 допустимо, так как оно положительно и не равно 1.

$\log_2 5^{-3}$ имеет смысл: $5^{-3}>0$.
$\log_2(-5)$ не имеет смысла: аргумент отрицателен.
$\log_2(-5)^3$ не имеет смысла: при чтении как $\log_2((-5)^3)$ аргумент отрицателен; если степень относится к значению логарифма, то уже $\log_2(-5)$ не определён.
$\log_2(-5)^2$ имеет смысл при указанной записи аргумента $(-5)^2$, поскольку $(-5)^2=25>0$.
$2^{\log_2\frac12}$ имеет смысл: внутренний логарифм определён, так как $\frac12>0$.
$\log_2\log_2\frac12$ не имеет смысла: внутренний логарифм равен $-1$, а внешний логарифм от отрицательного числа не определён.

Ответ: имеют смысл $\log_2 5^{-3}$, $\log_2(-5)^2$ и $2^{\log_2\frac12}$.

12. Какие из выражений имеют смысл: \(\log_2 5^{-3}\), \(\log_2(-5)\), \(\log_2(-5)^3\), \(\log_2(-5)^2\), \(2^{\log_2\frac12}\), \(\log_2\log_2\frac12\)?