12. Математическое исследование. Запиши число 10 всеми возможными способами в виде суммы двух натуральных чисел. Затем для каждого способа найди произведение слагаемых. Какое из этих произведений самое большое? Проделай то же самое с числом 12. Сформулируй гипотезу. Проверь свою гипотезу для какого-нибудь другого числа.

Считаем натуральные слагаемые положительными, а суммы, отличающиеся только порядком слагаемых, записываем один раз.

Для числа 10:

1. 1 + 9 = 10; произведение: 1 · 9 = 9.
2. 2 + 8 = 10; произведение: 2 · 8 = 16.
3. 3 + 7 = 10; произведение: 3 · 7 = 21.
4. 4 + 6 = 10; произведение: 4 · 6 = 24.
5. 5 + 5 = 10; произведение: 5 · 5 = 25.

Наибольшее произведение — 25.

Для числа 12:

1. 1 + 11 = 12; произведение: 11.
2. 2 + 10 = 12; произведение: 20.
3. 3 + 9 = 12; произведение: 27.
4. 4 + 8 = 12; произведение: 32.
5. 5 + 7 = 12; произведение: 35.
6. 6 + 6 = 12; произведение: 36.

Наибольшее произведение — 36.

Гипотеза: среди разложений числа на сумму двух натуральных слагаемых наибольшее произведение получается, когда слагаемые равны или отличаются на 1.

Проверим на числе 8: 1 · 7 = 7, 2 · 6 = 12, 3 · 5 = 15, 4 · 4 = 16. Наибольшее произведение получается при равных слагаемых.