12. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на стороне AC, а точка E — на стороне AD, причём AC = AD и AB = AE. Докажите, что ∠CBD = ∠DEC.

1. Так как B лежит на отрезке AC, а E — на отрезке AD, из AC = AD и AB = AE получаем: BC = AC − AB и DE = AD − AE. Следовательно, BC = DE.
2. В треугольнике ACD равны стороны AC и AD, поэтому углы при основании равны: ∠ACD = ∠CDA.
3. Поскольку лучи CB и CA совпадают, а лучи DE и DA совпадают, имеем ∠BCD = ∠CDE.
4. В треугольниках BCD и EDC равны BC = DE, CD — общая сторона, а углы между этими сторонами равны: ∠BCD = ∠CDE. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
5. Соответствующие углы равных треугольников равны: ∠CBD = ∠DEC.

Что и требовалось доказать.