12. Полоску бумаги разрезали на 9 частей. После этого самую большую из полученных частей снова разрезали на 9 частей. Затем снова самую большую из полученных частей разрезали на 9 частей. Так поступили много раз: на каждом шаге самую большую часть разрезали на 9 частей. Могло ли в итоге получиться 997 частей?

Рассмотрим, как меняется количество частей на каждом шаге. Изначально у нас 1 часть. На первом шаге мы разрезаем ее на 9 частей, то есть получаем 9 частей. На втором шаге мы берем самую большую из этих частей (которая также имеет размер 1/9 от начальной полосы бумаги), разрезаем ее на 9, а остальные части не трогаем. В результате мы добавим 8 новых частей. То есть всего 9 + 8 = 17 частей. Каждый раз, когда мы разрезаем самую большую часть, мы добавляем 8 частей. Значит, общее количество частей всегда будет иметь вид 1 + 8 * n, где n - количество разрезаний. Чтобы узнать, могло ли в итоге получиться 997 частей, нужно проверить, может ли уравнение 1 + 8n = 997 иметь целое положительное решение. Вычтем 1 из обеих частей: 8n = 996 Теперь поделим обе части на 8: n = 996 / 8 = 124.5 Так как 124.5 не является целым числом, 997 частей получиться не могло. Ответ: Нет, 997 частей получиться не могло.