№ 12.. Решите систему уравнений: {2^x / 2^y = 16, x + y = 9.

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} \frac{2^x}{2^y} = 16 \\ x + y = 9 \end{cases} \)

1. Преобразуем первое уравнение: \( 2^{x-y} = 2^4 \)
2. Приравняем показатели степеней: \( x - y = 4 \).
3. Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:
• \( \begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 9 \end{cases} \)
4. Сложим два уравнения системы: \( (x - y) + (x + y) = 4 + 9 \)
5. \( 2x = 13 \)
6. \( x = \frac{13}{2} \)
7. Подставим значение \( x \) во второе уравнение: \( \frac{13}{2} + y = 9 \)
8. \( y = 9 - \frac{13}{2} \)
9. \( y = \frac{18}{2} - \frac{13}{2} \)
10. \( y = \frac{5}{2} \)

Ответ: \( x = \frac{13}{2}, y = \frac{5}{2} \).