12. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Обратное утверждение к теореме о катете, противолежащем углу в 30°:

Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30°.

Доказательство:

1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90° \), и катет \( BC = \frac{1}{2} AB \).
2. Продолжим катет BC за точку C до точки D так, чтобы \( CD = BC \).
3. Соединим точки A и D.
4. Рассмотрим треугольник ABD. \( AC \) — медиана, проведённая к стороне BD.
5. По построению, \( BC = CD \).
6. В треугольнике ABC, \( \angle C = 90° \).
7. Рассмотрим треугольник ABD. \( AC = CD \). \( AB = BD \) (так как \( AB = 2BC = BD \)).
8. Треугольник ABD равнобедренный. \( \angle BAD = \angle BDA \).
9. В треугольнике ABC, \( \angle BAC + \angle ABC = 90° \).
10. Рассмотрим треугольник ABC. \( BC = \frac{1}{2} AB \).
11. Построим точку D так, чтобы \( C \) была серединой отрезка \( BD \).
12. Тогда \( BC = CD \).
13. В треугольнике ABD, \( AC \) — медиана.
14. Поскольку \( BC = CD \), то \( BD = 2BC = AB \).
15. Рассмотрим треугольник ABD. \( AB = BD \).
16. \( \angle BAC = \alpha \). \( \angle ABC = 90 - \alpha \).
17. По условию, \( BC = \frac{1}{2} AB \).
18. Рассмотрим треугольник ABC. Отразим его относительно катета AC. Получим треугольник \( AB'C \).
19. \( \angle BAC = \angle B'AC = \alpha \). \( AB = AB' \). \( BC = B'C \).
20. \( BB' = BC + CB' = 2BC \).
21. Так как \( AB = AB' \), то треугольник \( ABB' \) равнобедренный.
22. Если \( AB = 2BC \), то \( AB = BB' \).
23. Следовательно, треугольник \( ABB' \) равносторонний, и \( \angle BAB' = 60° \).
24. \( \angle BAB' = 2\alpha \), значит, \( 2\alpha = 60° \), откуда \( \alpha = 30° \).

Следовательно, угол, противолежащий катету \( BC \), равен 30°.