12. Тип Д12 С2 № 181. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Обозначим вершины правильного восьмиугольника по порядку \(A_1,A_2,\ldots,A_8\), а его центр — \(O\). При соединении через одну получаем четырёхугольник \(A_1A_3A_5A_7\).

Все вершины правильного восьмиугольника лежат на одной окружности с центром \(O\). Между соседними вершинами центральный угол равен \(360°:8=45°\). Поэтому дуга между вершинами, соединёнными в новом четырёхугольнике, соответствует центральному углу \(2\cdot45°=90°\).

Все четыре стороны \(A_1A_3,A_3A_5,A_5A_7,A_7A_1\) являются хордами, стягивающими равные дуги по 90°, значит, они равны. Каждый внутренний угол нового четырёхугольника опирается на полуокружность, поэтому равен 90°. Четырёхугольник с четырьмя равными сторонами и прямыми углами — квадрат.

Следовательно, при последовательном соединении каждой второй вершины правильного восьмиугольника получается квадрат.